endomorfizmas

Endomorfizmas – tai tiesinis atvaizdis (funkcija) iš vektorinės erdvės į tą pačią erdvę. Kitaip tariant, tai tiesinė transformacija, kuri neperkelia vektorių į kitą erdvę, o transformuoja juos toje pačioje erdvėje.

Trumpai:
Endomorfizmas = tiesinė transformacija \( f: V \to V \), kur \( V \) – vektorinė erdvė.

Pavyzdžiai:

1. Pasukimas plokštumoje
Tegu \( V = \mathbb{R}^2 \) – realioji plokštuma.
Funkcija \( f(x, y) = (-y, x) \) pasuka vektorių 90° prieš laikrodžio rodyklę.
Tai endomorfizmas, nes rezultatas vėl yra \( \mathbb{R}^2 \) vektorius.

2. Matricos dauginimas
Tegu \( V = \mathbb{R}^n \), \( A \) – \( n \times n \) matrica.
Atvaizdis \( f(\mathbf{v}) = A \mathbf{v} \) yra endomorfizmas, nes \( \mathbf{v} \) ir \( A\mathbf{v} \) yra toje pačioje erdvėje \( \mathbb{R}^n \).

3. Diferencijavimas polinomų erdvėje
Tegu \( V = P_n \) – polinomų iki \( n \)-tojo laipsnio erdvė.
Atvaizdis \( D(p(x)) = p'(x) \) (išvestinė) yra endomorfizmas, nes išvestinė polinomo vėl yra polinomas (laipsnis mažėja, bet lieka toje pačioje erdvėje \( P_n \)).

Svarbu: Endomorfizmas visada išlaiko erdvės struktūrą – jis yra tiesinis ( \( f(u+v) = f(u) + f(v) \), \( f(\alpha u) = \alpha f(u) \) ) ir uždarasis (rezultatas nepalieka erdvės).

• Gairės: Matematikos terminai

Įrašas
Paaiškinimas	Endomorfizmas – tai tiesinis atvaizdis (funkcija) iš vektorinės erdvės į tą pačią erdvę. Kitaip tariant, tai tiesinė transformacija, kuri neperkelia vektorių į kitą erdvę, o transformuoja juos toje pačioje erdvėje. Trumpai: Endomorfizmas = tiesinė transformacija \( f: V \to V \), kur \( V \) – vektorinė erdvė. Pavyzdžiai: 1. Pasukimas plokštumoje Tegu \( V = \mathbb{R}^2 \) – realioji plokštuma. Funkcija \( f(x, y) = (-y, x) \) pasuka vektorių 90° prieš laikrodžio rodyklę. Tai endomorfizmas, nes rezultatas vėl yra \( \mathbb{R}^2 \) vektorius. 2. Matricos dauginimas Tegu \( V = \mathbb{R}^n \), \( A \) – \( n \times n \) matrica. Atvaizdis \( f(\mathbf{v}) = A \mathbf{v} \) yra endomorfizmas, nes \( \mathbf{v} \) ir \( A\mathbf{v} \) yra toje pačioje erdvėje \( \mathbb{R}^n \). 3. Diferencijavimas polinomų erdvėje Tegu \( V = P_n \) – polinomų iki \( n \)-tojo laipsnio erdvė. Atvaizdis \( D(p(x)) = p'(x) \) (išvestinė) yra endomorfizmas, nes išvestinė polinomo vėl yra polinomas (laipsnis mažėja, bet lieka toje pačioje erdvėje \( P_n \)). Svarbu: Endomorfizmas visada išlaiko erdvės struktūrą – jis yra tiesinis ( \( f(u+v) = f(u) + f(v) \), \( f(\alpha u) = \alpha f(u) \) ) ir uždarasis (rezultatas nepalieka erdvės).
	Išsaugoti

Jūsų pataisymai bus išsiųsti moderatorių peržiūrai, jei informacija tikslesnė/taisyklingesnė
ji bus patalpinta vietoj esamos.