ultrafiltras
"Ultrafiltras" yra sąvoka matematikoje, ypač aibių teorijoje ir topologijoje. Tai yra specialus aibės poaibių rinkinys, kuris apibendrina "labai didelių" aibių sąvoką ir turi keletą specifinių, labai griežtų savybių.
Trumpai:
Ultrafiltras yra maksimalus filtras – tai yra toks aibės poaibių filtras, kurio negalima praplėsti, nepažeidžiant filtro savybių. Jis turi papildomą, labai stiprią savybę: kiekvienam aibės poaibiui, jis arba pats tas poaibis, arba jo papildinys, priklauso ultrafiltrui.
Pagrindinės savybės (neformaliai):
1. Jame nėra tuščios aibės.
2. Jei jame yra dvi aibės, tai ir jų sankirta yra jame.
3. Jei jame yra aibė A, tai ir bet kuri aibė, kurioje yra A, yra jame.
4. (Svarbiausia) Bet kuriai aibei X iš nagrinėjamos erdvės, tiksliai vienas iš šių dalykų yra teisingas:
X pati yra ultrafiltre, ARBA
X papildinys yra ultrafiltre.
Ši paskutinė savybė reiškia, kad ultrafiltras "nusprendžia" apie kiekvieną galimą poaibį – jis arba įtraukiamas kaip "labai didelis", arba jo papildinys yra "labai didelis".
Pavyzdžiai ir intuicija:
1. Pagrindinis pavyzdys: "Fiksuotų taškų" ultrafiltras.
Tarkime, turime aibę `A = {a, b, c}` ir pasirenkame elementą `a`.
Sudarome ultrafiltrą, kuris kaip "labai dideles" aibės laiko tas, kurios turi elementą `a`.
Šis ultrafiltras bus: `U = { {a}, {a,b}, {a,c}, {a,b,c} }`.
Patikrinkime savybę: Paimkime bet kurią aibės `A` dalį, pvz., `{b,c}`. Jos papildinys yra `{a}`, kuris yra mūsų filtre. Taigi sąlyga įvykdyta – `{b,c}` nėra filtre, bet jos papildinys yra.
Šis filtras atitinka "pasaulio, kuriame visada teisinga 'a atsitiko'" požiūrį.
2. Nemokamas ultrafiltras (sunkiau įsivaizduojamas).
Kai aibė yra begalinė (pvz., natūraliųjų skaičių aibė `N`), egzistuoja ultrafiltrai, kurie nėra sukonstruoti pagal vieną fiksuotą elementą. Jie vadinami nemokamais arba nebendraisiais.
Jie turi savybę, kad kiekvienai baigtinei aibei, jos papildinys yra ultrafiltre. Tai reiškia, kad jame kaip "labai didelės" laikomos tik be galo didelės aibės, ir jokios baigtinės aibės.
Tokio ultrafiltro negalima aiškiai aprašyti, bet jo egzistavimas įrodomas naudojant Zorno lemmą (pasirinkimo aksiomą). Jis atitinka tam tikrą "be galo tolimą" arba "asimptotinį" požiūrį į begalinę aibę.
3. Taikymas logikoje ir modelių teorijoje (supaprastintai):
Ultrafiltrai naudojami konstruojant netiesioginius modelius. Jei turime begalinę formulių šeimą, kurių kiekviena baigtinė poaibė yra įmanoma, tai naudojant ultrafiltrą galima "sugluosti" šias formules į vieną naują, nenutrūkstamą "super-pasaulį", kuriame visos jos vienu metu teisingos. Tai yra kompaktiškumo teoremos įrodymo esmė naudojant ultraproduktus.
Santrumpa:
Ultrafiltras yra tobulas, maksimalus "labai didelių" aibės dalių rinkinys, kuris užtikrina, kad kiekvienas klausimas "ar ši dalis priklauso labai didelėms?" turi griežtą atsakymą: "taip" arba "ne" (nes jei ne, tai jos papildinys yra "taip"). Tai galingas matematinis įrankis, leidžiantis apibrėžti konvergenciją, tęstinumą ir tiesą labai abstrakčiose erdvėse.
Jūsų pataisymai bus išsiųsti moderatorių peržiūrai, jei informacija tikslesnė/taisyklingesnė
ji bus patalpinta vietoj esamos.