Komutatorius

Komutatorius – tai matematikos ir fizikos terminas, reiškiantis tam tikrą operaciją tarp dviejų objektų (pvz., matricų, operatorių, elementų grupėje), kuri parodo jų „nepakaitomumo laipsnį“.

Formaliai, jei turime du objektus \( A \) ir \( B \), jų komutatorius žymimas \([A, B]\) ir apibrėžiamas taip:
\[
[A, B] = AB - BA
\]
Jei \([A, B] = 0\), objektai komutuoja (t.y., \(AB = BA\)), kitu atveju – ne.

Pavyzdžiai:

1. Matricos
Tarkime, turime matricas:
\[
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad
B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
\]
Tada:
\[
AB = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad
BA = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}
\]
Komutatorius:
\[
[A, B] = AB - BA = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \neq 0
\]
Matricos nekomutuoja.

2. Kvantinėje mechanikoje (pozicijos ir impulso operatoriai)
Pozicijos operatorius \( \hat{x} \) ir impulso operatorius \( \hat{p}_x \) tenkina:
\[
[\hat{x}, \hat{p}_x] = i\hbar
\]
kur \( \hbar \) – redukuota Planko konstanta, \( i \) – menamasis vienetas.
Nulinis komutatorius rodo pagrindinį kvantinės mechanikos principą: pozicijos ir impulso matavimai negali būti vienu metu tikslūs (Heizenbergo neapibrėžtumo principas).

3. Grupėje (grupių teorija)
Grupės elementų \( g \) ir \( h \) komutatorius apibrėžiamas kaip:
\[
[g, h] = g h g^{-1} h^{-1}
\]
Jis lygus vienetiniam elementui, jei elementai komutuoja.

• Terminai: komutatorius

Įrašas
Paaiškinimas	Komutatorius – tai matematikos ir fizikos terminas, reiškiantis tam tikrą operaciją tarp dviejų objektų (pvz., matricų, operatorių, elementų grupėje), kuri parodo jų „nepakaitomumo laipsnį“. Formaliai, jei turime du objektus \( A \) ir \( B \), jų komutatorius žymimas \([A, B]\) ir apibrėžiamas taip: \[ [A, B] = AB - BA \] Jei \([A, B] = 0\), objektai komutuoja (t.y., \(AB = BA\)), kitu atveju – ne. Pavyzdžiai: 1. Matricos Tarkime, turime matricas: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \] Tada: \[ AB = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad BA = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \] Komutatorius: \[ [A, B] = AB - BA = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \neq 0 \] Matricos nekomutuoja. 2. Kvantinėje mechanikoje (pozicijos ir impulso operatoriai) Pozicijos operatorius \( \hat{x} \) ir impulso operatorius \( \hat{p}_x \) tenkina: \[ [\hat{x}, \hat{p}_x] = i\hbar \] kur \( \hbar \) – redukuota Planko konstanta, \( i \) – menamasis vienetas. Nulinis komutatorius rodo pagrindinį kvantinės mechanikos principą: pozicijos ir impulso matavimai negali būti vienu metu tikslūs (Heizenbergo neapibrėžtumo principas). 3. Grupėje (grupių teorija) Grupės elementų \( g \) ir \( h \) komutatorius apibrėžiamas kaip: \[ [g, h] = g h g^{-1} h^{-1} \] Jis lygus vienetiniam elementui, jei elementai komutuoja.
	Išsaugoti

Jūsų pataisymai bus išsiųsti moderatorių peržiūrai, jei informacija tikslesnė/taisyklingesnė
ji bus patalpinta vietoj esamos.