grupoidas
Grupoidas – tai algebrinė struktūra, sudaryta iš aibės ir vienos dvejetainės operacijos, apibrėžtos toje aibėje.
Svarbu: operacija turi būti uždara aibės atžvilgiu (t. y. bet kurių dviejų aibės elementų rezultatas po operacijos taip pat priklauso aibei), tačiau nereikalaujama jokių kitų savybių (kaip asociatyvumas, neutralusis elementas ar atvirkštiniai elementai).
Trumpai: Grupoidas = aibė + uždara dvejetainė operacija.
Pavyzdžiai:
1. Natūralieji skaičiai su sudėtimi
Aibė: \( \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} \)
Operacija: sudėtis (\(+\))
Rezultatas: bet kurių dviejų natūraliųjų skaičių suma yra natūralusis skaičius, tačiau operacija nėra asociatyvi? (Ji iš tikrųjų yra asociatyvi, bet asociatyvumas nėra būtinas grupoido apibrėžime.) Svarbu – operacija uždara. Tai grupoidas.
2. Aibė \(\{a, b, c\}\) su operacija, apibrėžta lentele:
Pvz.:
\[
\begin{array}{c|ccc}
& a & b & c \\
\hline
a & a & b & c \\
b & b & a & c \\
c & c & c & a
\end{array}
\]
Čia rezultatas bet kurių dviejų elementų yra vėl elementas iš \(\{a, b, c\}\). Tai grupoidas (bet operacija gali būti neasociatyvi).
3. Aibė \(\mathbb{Z}\) (sveikieji skaičiai) su atimtimi
Atimtis yra uždara \(\mathbb{Z}\) atžvilgiu, tačiau nėra asociatyvi. Tai grupoidas, bet ne pusgrupė (nes pusgrupė reikalauja asociatyvumo).
Pastaba: Kai kuriuose kontekstuose terminas "grupoidas" gali reikšti "pusgrupę" (ypač senesnėje literatūroje), tačiau šiuolaikinėje algebroje dažniausiai grupoidas – tai tik aibė su uždara dvejetaine operacija be papildomų reikalavimų.
Jūsų pataisymai bus išsiųsti moderatorių peržiūrai, jei informacija tikslesnė/taisyklingesnė
ji bus patalpinta vietoj esamos.