funktorius
Funktorius (angl. functor) – tai matematinis objektas, kuris veikia tarp dviejų kategorijų, išsaugant jų struktūrą. Jis susideda iš dviejų dalių:
1. Objektų atvaizdavimo – kiekvienam objektui vienoje kategorijoje priskiria objektą kitoje.
2. Morfizmų atvaizdavimo – kiekvienam morfizmui (sąryšiui) priskiria morfizmą tarp atitinkamų objektų, išsaugant kompoziciją ir tapatybės morfizmus.
Pavyzdžiai:
1. Pamirštamasis funktorius (angl. forgetful functor):
- Veikimas: Paima algebrinę struktūrą ir „pamiršta“ jos operacijas, palikdamas tik pagrindinę aibę.
- Pavyzdys:
Kategorija: Grupės → Kategorija: Aibės
Grupė \((G, )\) pereina į aibę \(G\), o grupės homomorfizmas – į atitinkamą funkciją tarp aibių.
2. Laisvosios grupės funktorius:
- Veikimas: Kiekvienai aibei priskiria laisvąją grupę, sukuriamą iš tos aibės elementų.
- Pavyzdys:
Aibė \(\{a, b\}\) pereina į laisvąją grupę su generatoriais \(a\) ir \(b\) (visi galimi žodžiai su sudėties operacija).
3. Hom funktorius (įprastas pavyzdys):
- Veikimas: Fiksuojame objektą \(A\). Funktorius \(Hom(A, -)\) kiekvienam objektui \(X\) priskiria morfizmų aibę \(Hom(A, X)\).
- Pavyzdys:
Kategorijoje Vektorinės erdvės (per kūną \(\mathbb{R}\)), jei \(A = \mathbb{R}^2\), tai \(Hom(\mathbb{R}^2, X)\) yra tiesinių atvaizdžių iš \(\mathbb{R}^2\) į \(X\) aibė.
Trumpai: Funktorius – tai „atvaizdavimas tarp kategorijų“, kuris išsaugo kompoziciją ir tapatybę. Jis yra viena pagrindinių kategorijų teorijos sąvokų, naudojama algebroje, topologijoje ir programavime (pvz., funkciniame programavime kaip tipų transformatorius).
- Gairės: Matematikos terminai
Jūsų pataisymai bus išsiųsti moderatorių peržiūrai, jei informacija tikslesnė/taisyklingesnė
ji bus patalpinta vietoj esamos.