epimorfizmas
Epimorfizmas (matematikoje, ypač kategorijų teorijoje) – tai suriaktyvusis homomorfizmas, t.y., atvaizdis, kuris yra suriaktyvus („užpildo“ visą tikslinę aibę).
Trumpai:
Epimorfizmas yra atvaizdis \( f: A \to B \), kurio vaizdas yra visa \( B \) (kiekvienas \( B \) elementas yra kažkokio \( A \) elemento vaizdas), ir jis išsaugo struktūrą (pvz., grupės, žiedo, modulio).
Pavyzdžiai:
1. Grupėse:
Atvaizdis \( f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_n \) (sveikieji skaičiai → liekanos moduliu \( n \)), apibrėžtas kaip
\( f(k) = k \mod n \), yra epimorfizmas (suriaktyvus grupės homomorfizmas).
2. Žieduose:
Atvaizdis \( g: \mathbb{R}[x] \to \mathbb{R} \) (polinomų žiedas → realieji skaičiai), apibrėžtas kaip
\( g(p(x)) = p(0) \) (įstatymas \( x = 0 \)), yra epimorfizmas (suriaktyvus žiedo homomorfizmas).
3. Kategorijų teorijoje (bendresnis apibrėžimas):
Epimorfizmas yra dešinysis panaikinamasis morfizmas: jei \( f: X \to Y \) yra epimorfizmas, tai bet kokiems morfizmams \( g_1, g_2: Y \to Z \) iš \( g_1 \circ f = g_2 \circ f \) seka \( g_1 = g_2 \).
Pavyzdys: įterpimas \( \mathbb{Z} \to \mathbb{Q} \) (sveikieji → racionalieji) yra epimorfizmas žiedų kategorijoje, nors jis nėra surjektyvus kaip funkcija (čia reikia atidžiai žiūrėti kategoriją).
Svarbu:
- Algebroje epimorfizmas dažnai reiškia suriaktyvų homomorfizmą.
- Bendrojoje kategorijų teorijoje epimorfizmas apibrėžiamas abstrakčiau (per panaikinamumo savybę), ir jis gali nebūti surjektyvus konkrečiose aibėse.
- Gairės: Matematikos terminai
Jūsų pataisymai bus išsiųsti moderatorių peržiūrai, jei informacija tikslesnė/taisyklingesnė
ji bus patalpinta vietoj esamos.