Kilmingos lietuviškos pavardės „Rumševičius“ kilmė siejama su vietovardžiu Rumšiškės (Kaišiadorių r.), o jos reikšmė – „iš Rumšiškių kilęs“ arba „Rumšiškių žmogus“. Tai patroniminė pavardė, nurodanti asmens kilmę iš konkretaus miestelio.
Įžymūs žmonės su šia pavarde:
Kazimieras Rumševičius (1846–1904) – kunigas, visuomenės veikėjas, knygnešys.
Juozas Rumševičius (g. 1952) – choro dirigentas, pedagogas, kultūros veikėjas.
Mindaugas Rumševičius (g. 1975) – verslininkas, buvęs UAB „Rokiškio sūris“ generalinis direktorius.
Pavardė yra paplitusi ir jos variantas – Rumšas.