bijekcija
Bijekcija – tai funkcija (atvaizdis), kuri yra vienu metu:
1. Injektyvi („į injekciją“): skirtingiems apibrėžimo srities elementams priskiria skirtingas reikšmes (t. y. jei \( x_1 \neq x_2 \), tai \( f(x_1) \neq f(x_2) \)).
2. Sirjektyvi („į sirjekciją“): kiekvienas reikšmių srities elementas yra priskirtas kažkuriam apibrėžimo srities elementui (t. y. funkcijos reikšmių sritis sutampa su taikymo sritimi).
Kitaip tariant, bijekcija yra „vienas su vienu“ atitikimas tarp dviejų aibių, kuriame kiekvienas pirmosios aibės elementas atitinka tiksliai vieną antrosios aibės elementą ir atvirkščiai.
Pavyzdžiai:
1. Funkcija \( f(x) = 2x \) apibrėžta realiųjų skaičių aibėje \( \mathbb{R} \):
- Ji yra injektyvi, nes jei \( 2x_1 = 2x_2 \), tai \( x_1 = x_2 \).
- Ji yra sirjektyvi į \( \mathbb{R} \), nes bet kuriam realiajam \( y \) galime rasti \( x = y/2 \), kad \( f(x) = y \).
- Taigi \( f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \( f(x) = 2x \) yra bijekcija.
2. Funkcija \( g(n) = n + 1 \) apibrėžta natūraliųjų skaičių aibėje \( \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} \):
- Injektyvi: jei \( n+1 = m+1 \), tai \( n = m \).
- Sirjektyvi į aibę \( \{2, 3, 4, \dots\} \), bet ne į visą \( \mathbb{N} \), nes nėra tokio \( n \in \mathbb{N} \), kad \( g(n) = 1 \).
→ Ši funkcija nėra bijekcija iš \( \mathbb{N} \) į \( \mathbb{N} \), bet ji yra bijekcija iš \( \mathbb{N} \) į aibę \( \mathbb{N} \setminus \{1\} \).
3. Atvaizdis tarp aibių \( A = \{a, b, c\} \) ir \( B = \{1, 2, 3\} \):
- Apibrėžiame \( h(a) = 1 \), \( h(b) = 2 \), \( h(c) = 3 \).
- Tai bijekcija, nes kiekvienas \( A \) elementas atitinka skirtingą \( B \) elementą ir kiekvienas \( B \) elementas yra pasiekiamas.
Trumpai: Bijekcija – tai toks atvaizdis, kuris sudaro „visiškai abipus vienareikšmę“ atitikimą tarp dviejų aibių elementų.
Jūsų pataisymai bus išsiųsti moderatorių peržiūrai, jei informacija tikslesnė/taisyklingesnė
ji bus patalpinta vietoj esamos.