monoidas
Monoidas – tai algebrinė struktūra, kurią sudaro aibė ir asociatyvi dvinarė operacija, turinti neutralųjį (vienetinį) elementą.
Pagrindinės savybės:
1. Uždarytas – bet kokiems dviem elementams iš aibės, operacijos rezultatas taip pat yra aibėje.
2. Asociatyvumas – \( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \).
3. Neutralusis elementas – egzistuoja elementas \( e \), kuris bet kuriam elementui \( a \) tenkina: \( e \cdot a = a \cdot e = a \).
Pavyzdžiai:
1. Sveikieji skaičiai su sudėtimi:
- Aibė: \( \mathbb{Z} \) (visi sveikieji skaičiai)
- Operacija: sudėtis (\(+\))
- Neutralusis elementas: \( 0 \), nes \( a + 0 = 0 + a = a \)
- Pavyzdys: \( (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 \)
2. Natūralieji skaičiai su daugyba:
- Aibė: \( \mathbb{N} \) (natūralieji skaičiai, įskaitant 0)
- Operacija: daugyba (\(\times\))
- Neutralusis elementas: \( 1 \), nes \( a \times 1 = 1 \times a = a \)
- Pavyzdys: \( (2 \times 3) \times 4 = 2 \times (3 \times 4) = 24 \)
3. Žodžiai su konkatenacija:
- Aibė: visos baigtinės eilutės (žodžiai) tam tikroje abėcėlėje
- Operacija: jungimas (pvz., "ab" + "cd" = "abcd")
- Neutralusis elementas: tuščia eilutė \( \varepsilon \)
- Pavyzdys: \( ("lab" + "as") + "!" = "lab" + ("as" + "!") = "labas!" \)
Svarbu: Monoidas yra pusgrupė su neutraliuoju elementu. Jei kiekvienas elementas turi atvirkštinį, tai jau yra grupė (pvz., sveikieji skaičiai su sudėtimi yra grupė, bet natūralieji su daugyba – ne, nes ne visi elementai turi atvirkštinį).
Jūsų pataisymai bus išsiųsti moderatorių peržiūrai, jei informacija tikslesnė/taisyklingesnė
ji bus patalpinta vietoj esamos.