Pavardė „Kleščinskis“ yra lietuviška, kilusi iš slaviškų kalbų. Ji greičiausiai atsirado iš asmenvardžio „Kleščia“ arba panašaus varianto, galbūt susijusio su žodžiu „kleščius“ (kuris gali reikšti „plepys“ arba „nekaltas žmogus“). Pavardė būdinga Rytų Lietuvai, kur buvo daug slaviškų įtakų.
Iš žymesnių asmenų žinomas Mykolas Kleščinskis (g. 1951 m.) – Lietuvos ir Vilniaus miesto politinis bei visuomenės veikėjas, buvęs Seimo narys.