Kilminga pavardė Gapševičius yra lietuviška, kilusi iš baltarusiškos ar lenkiškos pavardės Gąsiewicz. Ji susiformavo iš asmenvardžio Gąsiew (galimai susijusio su žodžiu „gąsas“ – „žąsis“) ir priesagos -evičius, nurodančios sūnų arba kilmę. Tai patroniminė pavardė, rodanti, kad jos pirmasis turėtojas buvo „Gąsiew sūnus“.
Istorijoje žymių žmonių su šia pavarde nėra daug, tačiau viena garsiausių yra Jonas Gapševičius (1891–1942) – Lietuvos karinis veikėjas, pulkininkas, aktyvus dalyvavimas nepriklausomybės kovose.